Как подготовиться к решению задач с параметром на ЕГЭ | 1С: Репетитор

Как подготовиться к решению задач с параметром на ЕГЭ | 1С:Репетитор

Задача с параметром – для обычного школьника одна из самых сложных задач варианта КИМ ЕГЭ: в программах по математике для общеобразовательных школ (за исключением профильных и специализированных классов, школ и лицеев) таким задачам либо не уделяется должного внимания, либо они не рассматриваются вовсе. Несмотря на это, знание набора методов и подходов к решению таких задач и определенная практика их решения позволяют продвинуться в решении задачи с параметром достаточно далеко и если уж не решить ее полностью, то хотя бы получить за нее некоторое количество баллов на экзамене.

Ранее, до появления единого государственного экзамена, задачи с параметрами входили в варианты вступительных экзаменов по математике в ведущие вузы, а сегодня входят в вариант КИМ ЕГЭ профильного уровня. Дело в том, что эти задачи обладают высокой диагностической ценностью: они позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности, а главное – насколько успешно он сможет овладеть курсом математики в вузе.

«Научите меня решать задачи с параметром», – такую просьбу я часто слышу от своих учеников. Что ж, эта задача потребует от выпускника немало интеллектуальных усилий. С чего начать изучение? С освоения методов решения задач с параметром. Собственно, если вы внимательно читали наши рекомендации, как подготовиться к решению сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, то заметили, что это универсальный совет. Именно так построен наш курс «1С:Репетитор»: изучаем как можно более широкий спектр методов и приемов решения задач и тренируемся в применении этих методов на практике.

Чему нужно научиться, решая задачи с параметром

В первую очередь – правильно применять равносильные преобразования уравнений, неравенств и их систем. То есть понять, при каких ограничениях, накладываемых на параметр, можно выполнять то или иное преобразование. Лучше всего начать с заданий вида: «Для каждого значения параметра решить…» и рассмотреть по возможности все основные элементарные функции, встречающиеся в школьном курсе математики.

Если с несложными задачами такого вида школьник справляется неплохо, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа: «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.

Следующий шаг, который мы рекомендуем, – тщательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество исследовательских задач, разнообразных по форме и содержанию, чем и пользуются составители вариантов КИМ ЕГЭ.

Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме:

  • задачи, основанные на свойствах дискриминанта и старшего коэффициента квадратного трехчлена;
  • применение теоремы Виета в задачах с параметром;
  • расположение корней квадратного трехчлена относительно заданных точек;
  • более сложные задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена.

    Следующая тема курса – графические методы решения задач с параметром

    Существует два принципиально различных подхода – построение графиков функций или уравнений в плоскости (x; y) или в плоскости (x; a) . Кроме того, для графического метода решения задач с параметром в плоскости (x; y) необходимо рассмотреть различные виды преобразования графиков – обычно это параллельный перенос, поворот прямой и гомотетия. Есть класс задач, решение которых основано на аналитических свойствах функций (области определения, области значений, четности, периодичности и т.д.), эти свойства и приемы их использования тоже нужно знать.

    На этом перечень методов решения задач с параметрами, разумеется, не заканчивается, но анализ вариантов КИМ ЕГЭ профильного уровня и практика показывают, что в настоящее время этого достаточно для успешного решения задачи № 18 на экзамене.

    В заключение отметим, что выстроить подобный курс самостоятельно, без преподавателя, обычный школьник не сможет, даже имея под рукой хорошие учебные пособия по методам решения задач с параметром. Здесь необходима помощь опытного наставника, который сможет подобрать нужные задачи и выстроить траекторию движения школьника по ним.

    Заметим, кстати, что весьма эффективным инструментом для изучения именно методов решения задач с параметром являются интерактивные тренажеры с пошаговым разбором решения.

    Работая с таким тренажером, школьник одновременно учится выстраивать логику решения задачи с параметром и контролирует правильность выполнения каждого шага решения. Это очень важное умение, так как одна из основных сложностей в решении задачи с параметром состоит в том, что необходимо на каждом шаге решения понимать, что означают уже полученные результаты и что (в зависимости от этих результатов) еще остается сделать, чтобы довести решение до конца.

    Регулярно тренируйтесь в решении задач

    Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.
    Вы можете:

    • Начать заниматься бесплатно.
    • Купить доступ к этой задаче в составе экспресс-курса «Алгебра» и научиться решать задачи №13, №15, №17, №18 и №19 на максимальный балл.

    Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.

    Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.

    Алгебра для чайников

    Матрицей называют прямоугольную таблицу, заполненную числами. Важнейшие характеристики матрицы – число строк и число столбцов. Если у матрицы одинаковое число строк и столбцов, ее называют квадратной. Обозначают матрицы большими латинскими буквами.

    Сами числа называют элементами матрицы и характеризуют их положением в матрице, задавая номер строки и номер столбца и записывая их в виде двойного индекса, причем вначале записывают номер строки, а затем столбца. Например, a14 есть элемент матрицы, стоящий в первой строке и четвертом столбце, a32 стоит в третьей строке и втором столбце.

    Главной диагональю квадратной матрицы называют элементы, имеющие одинаковые индексы, то есть те элементы, у которых номер строки совпадает с номером столбца. Побочная диагональ идет «перпендикулярно» главной диагонали.

    Особую важность представляют собой так называемые единичные матрицы. Это квадратные матрицы, у которых на главной диагонали стоят 1, а все остальные числа равны 0. Обозначают единичные матрицы E. Матрицы называют равными, если у них равны число строк, число столбцов, и все элементы, имеющие одинаковые индексы, равны. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0. Обозначается нулевая матрица О.

    Простейшие действия с матрицами

    1. Умножение матрицы на число. Для этого необходимо умножить каждый элемент матрицы на данное число.

    Читайте также  Угловой камин своими руками

    2. Сложение матриц. Складывать можно только матрицы одинакового размера, то есть имеющие одинаковое число строк и одинаковое число столбцов. При сложении матриц соответствующие их элементы складываются.

    3. Транспонирование матрицы. При транспонировании у матрицы строки становятся столбцами и наоборот. Полученная матрица называется транспонированной и обозначается A T . Для транспонирования матриц справедливы следующие свойства:

    4. Умножение матриц. Для произведения матриц существуют следующие свойства:

    • Умножать можно матрицы, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
    • В результате получится матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.
    • Умножение матриц некоммутативно. Это значит, что от перестановки местами матриц в произведении результат меняется. Более того, если можно посчитать произведение A∙B, это совсем не означает, что можно посчитать произведение B∙A.
    • Пусть C = A∙B. Для определения элемента матрицы С, стоящего в i-той строке и k-том столбце необходимо взять i-тую строку первой умножаемой матрицы и k-тый столбец второй. Далее поочередно брать элементы этих строки и столбца и умножать их. Берем первый элемент из строки первой матрицы и умножаем на первый элемент столбца второй матрицы. Далее берем второй элемент строки первой матрицы и умножаем на второй элемент столбца второй матрицы и так далее. А потом все эти произведения надо сложить.

    Свойства произведения матриц:

    Определитель матрицы

    Определителем (детерминантом) квадратной матрицы А называется число, которое обозначается detA, реже |A| или просто Δ, и вычисляется определённым образом. Для матрицы размера 1х1 определителем является сам единственный элемент матрицы. Для матрицы размера 2х2 определитель находят по следующей формуле:

    Миноры и алгебраические дополнения

    Рассмотрим матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Составим квадратную матрицу из элементов, стоящих на пересечении полученных строк и столбцов. Минором матрицы А порядка s называют определитель полученной матрицы.

    Рассмотрим квадратную матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Дополнительным минором к минору порядка s называют определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания данных строк и столбцов.

    Алгебраическим дополнением к элементу aik квадратной матрицы А называют дополнительный минор к этому элементу, умноженный на (–1) i+k , где i+k есть сумма номеров строки и столбца элемента aik. Обозначают алгебраическое дополнение Aik.

    Вычисление определителя матрицы через алгебраические дополнения

    Рассмотрим квадратную матрицу А. Для вычисления ее определителя необходимо выбрать любую ее строку или столбец и найти произведения каждого элемента этой строки или столбца на алгебраическое дополнение к нему. А дальше надо просуммировать все эти произведения.

    Когда будете считать алгебраические дополнения, не забывайте про множитель (–1) i+k . Чтобы счет был более простым, выбирайте ту строку или столбец матрицы, который содержит наибольшее число нулей.

    Расчет алгебраического дополнения может сводиться к расчету определителя размером более чем 2х2. В этом случае такой расчет также нужно проводить через алгебраические дополнения, и так далее до тех пор, пока алгебраические дополнения, которые нужно будет считать, не станут размером 2х2, после чего воспользоваться формулой выше.

    Обратная матрица

    Рассмотрим квадратную матрицу А. Матрица A –1 называется обратной к матрице А, если их произведения равны единичной матрице. Обратная матрица существует только для квадратных матриц. Обратная матрица существует, только если матрица А невырождена, то есть ее определитель не равен нулю. В противном случае обратную матрицу посчитать невозможно. Для построения обратной матрицы необходимо:

    1. Найти определитель матрицы.
    2. Найти алгебраическое дополнение для каждого элемента матрицы.
    3. Построить матрицу из алгебраических дополнений и обязательно транспонировать ее. Часто про транспонирование забывают.
    4. Разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы.

    Таким образом, в случае, если матрица А имеет размер 3х3, обратная к ней матрица имеет вид:

    (Это работает только тогда, когда система имеет единственное решение, она терпит неудачу, когда матрица A является особой.)

    1. Напишите каждое уравнение с переменными в том же порядке и константу с другой стороны знака уравнения.

    2. Создайте матрицу A, элементами которой являются коэффициенты переменных.

    3. Создайте матрицу B, элементами которой являются константы.

    4. Нажмите, A -1 * B и нажмите Enter.

    Полученный вектор имеет значения переменных по порядку.

    Уроки по математике

    На данном этапе развития сайта темы из учебников по курсу «Математика 6 класс» или «Математика 5 класс» рассматриваются в первую очередь.

    На нашем информационном ресурсе представлены уроки по направлениям:

    • математика начальная школа;
    • математика 5 класс;
    • математика 6 класс;
    • алгебра 7 класс;
    • алгебра старшая школа.

    Для выбора учебного материала обратитесь к столбцу слева.

    Все темы рассортированы по классам. Внутри классов темы расположены в алфавитном порядке.

    Деление уроков на классы условно, так как программы в разных учебных заведениях могут отличаться. Поэтому, если вы не нашли урок по математике в темах своего учебного года, попробуйте поискать его в других классах.

    Для поиска нужного урока или справочного материала вы также можете воспользоваться «Поиском по сайту . », который расположен вверху каждой страницы.

    Если вы или ваш ребёнок пропустил занятие по математике в школе, то быстро восстановить пропущенное вам помогут понятные объяснения уроков нашего бесплатного информационного сайта math-prosto.ru .

    Примите участие в определении будущих тем!

    От ваших предложений зависит, какие темы по математике мы разберём в первую очередь. Свои пожелания вы можете оставить на нашем математическом форуме.

    Примеры

    3-мерное векторное пространство

    Обычное трехмерное векторное пространство является алгеброй Ли относительно операции векторного произведения.

    Ассоциативные алгебры над k и умножение в k-модуле

    Пусть — произвольная ассоциативная алгебра над с умножением: . Она обладает естественной структурой алгебры Ли над , если определить скобку Ли через ассоциативное умножение: . Заметим, что обратное утверждение неверно: скобка Ли в общем случае не позволяет ввести ассоциативное умножение, поэтому не всякая алгебра Ли является в то же время ассоциативной алгеброй.

    Алгебра Ли векторных полей

    Если M — риманово многообразие, пространство всех заданных на нем дифференцируемых векторных полей образует бесконечномерную алгебру Ли относительно операции коммутирования:

    где X, Y — векторные поля, а — ковариантная производная по направлению векторного поля X. Если на многообразии задана локальная система координат, то в координатном представлении коммутатор векторных полей равен:

    Коммутация векторных полей X и Y эквивалентна взятию производной Ли от поля Y по направлению поля X:

    .

    В этом смысле тождество Якоби для алгебры векторных полей можно переписать как правило Лейбница для производной Ли:

    Множество всех дифференцирований любой k-алгебры

    Множество всех дифференцирований любой — алгебры является лиевой алгеброй с операцией 121221.
    Присоединёнными эндоморфизмами называются дифференцирования лиевой алгебры вида .
    Они образуют в подалгебру и отображение является гомоморфизмом, называемым присоединённым представлением лиевой алгебры . Его образ изоморфен факторалгебре алгебры по её центру .

    Скачать бесплатно первый том курса высшей математики в формате PDF:

    Описание второго тома курса высшей математики:

    Во втором томе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные дифференциальные уравнения и дополнительные сведения по теории дифференциальных уравнений; кратные и криволинейные интегралы, несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра; векторный анализ и теория поля; основы дифференциальной геометрии; ряды Фурье; уравнения с частными производными математической физики.

    Читайте также  Баварская кладка фото

    Оглавление второго тома курса высшей математики:

    Примеры страниц второго тома курса высшей математики:

    Размещения с повторениями и без повторений

    Под этим определением понимают набор m элементов из множества n элементов.

    Задача №8.

    Из 3 цифр надо выбрать 2, чтобы получались разные двузначные числа. Сколько вариантов?

    А как же быть с повторениями? Здесь каждый элемент может размещаться несколько раз! В таком случае общая формула будет выглядеть следующим образом:

    Задача №9.

    Из 12 букв латинского алфавита и 10 цифр натурального ряда надо найти все варианты составления автомобильного кода региона.

    Бесплатные онлайн уроки по алгебре

    В современный век цифровых технологий алгебра является, пожалуй, одной из самых востребованных наук. Но случается порой и так, что у школьника возникают определённые трудности в ее освоении. Можно пойти на дополнительные занятия к репетитору, но что делать, если для этого нет денег или времени? Помогут видеоуроки по алгебре на сайте Виртуальной Академии.

    Видеоуроки — отличная альтернатива школьным занятиям

    Никто не говорит о том, что нужно перестать посещать школу, но если у ребенка возникают определенные трудности с пониманием конкретной темы, пропущено много уроков по причине болезни или нужно повторить изученный материал перед ЕГЭ и ОГЭ, то на помощь придут онлайн уроки.
    На сайте представлено порядка ста различных занятий по алгебре для 7,8, 9,10 и 11 классов общеобразовательных школ, проведенных по современным популярным учебникам Мордкович и Макарычева.

    Занятия разработаны и проведены опытными педагогами, имеющими опыт дистанционного образования. Они не просто излагают такие сложные темы как многочлены, разложение на многочлены, функция или производная, а предлагают рассмотреть этот материал на простых и доступных примерах. Ими предложено ряд простых способов, как научиться сокращённому умножению, используя формулы или как решать рациональные и квадратные уравнения всего в несколько действий.

    Учитесь алгебре вместе с Виртуальной Академией

    Потапов Эдуард Алексеевич Учитель математики. Педагогический стаж более 10 лет. Высшая категория. Отличник народного просвещения. В онлайн уроках использует технологию учебного исследования и многоуровневое обучение.

    Банару Михаил Борисович Кандидат физико-математических наук, доцент. Более чем 20-летний опыт преподавания в школе и институте. Специализация: школьная математика для ОГЭ и ЕГЭ, математические олимпиады, задачи с изюминкой.

    Susanne Rose English native speaker from Canada. Susanne is a teacher of language in Toronto school. More than 10 years of educational work with children. Excellent communication and written skills as well as ability to explain the topic. Making use of deferent technique for attaining the goal.

    Селюк Борис Васильевич Доцент кафедры физики СмолГУ, кандидат физико-математических наук. Автор более чем 50 учебников и методических пособий для школьников и студентов. Подготовил более 20 победителей Всероссийских и Международных физических олимпиад. В видео уроках применяет программу «Живая Физика».

    14 книг, которые облегчат понимание математики

    Теперь, когда мы разобрались, зачем нам понимать математику, перейдем собственно к литературе по математике, которая полезна каждому человеку. Полезна тем, что облегчит (а не затруднит!) понимание этого нужного и важного предмета. И даже поможет преодолеть стойкое отвращение к цифрам и расчетам, если у вас сформировалась таковое по итогам обучения в средней школе.

    Кьяртан Поскитт «Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений»

    Кьяртан Поскитт (Kjartan Poskitt) приобрел широкую известность в качестве ведущего образовательных программ на телеканале ВВC и автора детских сказок, в ненавязчивой форме раскрывающих множество природных явлений и математических закономерностей. «Математика для взрослых» в доступной форме научит быстро проводить любые арифметические действия, считать в уме, проверять правильность кассового чека, высчитывать пропорции ингредиентов для кулинарных рецептов и строительных смесей.

    Алекс Беллос «Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры»

    Еще один британский ведущий и писатель Алекс Беллос (Alexander Bellos) взялся поставить математику на службу простым смертным. С помощью этой книги вы не только быстро поймете, что такое пропорции, синусоиды, факториал, полухорды, но и заметно пополните запас знаний по истории Древнего мира, т.к. многие математические открытия уходят корнями в древность.

    Барбара Оакли «Думай, как математик»

    Профессор Оклендского университета Барбара Оакли (Barbara Ann Oakley) в своей книге «Думай, как математик» потрудилась собрать большой массив лайфхаков по изучению математики от своих коллег и студентов. Узкоспециальные знания чередуются с увлекательными жизненными историями, что делает чтение интересным и захватывающим. Книга рекомендуется к прочтению в случае, если математика зачем-либо понадобилась, однако изучать ее не очень хочется.

    Дьердь Пойа «Математическое открытие»

    Эта книга для тех, кто хочет научиться решать любые задачи. Автор дает методику поиска правильного решения различными способами и разбирает наиболее частые ошибки, которые мешают человеку освоить математику. Для этого он использует математические софизмы, т.е. доказывает заведомо ложные утверждения. Кроме того, американский ученый венгерского происхождения Дьердь Пойа (George Pólya) известен своими работами по теории чисел и функциональному анализу.

    Джордан Элленберг «Как не ошибаться. Сила математического мышления»

    Тут название говорит само за себя. Книга учит не ошибаться, причем не только в математических расчетах, но даже в выборе профессии, бизнес-стратегии и лотерее. Профессор математики Висконсинского университета (США) Джордан Элленберг (Jordan Ellenberg) считает, что, цитируем: «Знание математики – своего рода рентгеновские очки, позволяющие увидеть структуру мира, скрытую под беспорядочной, хаотичной поверхностью». Конец цитаты. В этом и есть сила математического мышления по Элленбергу.

    Ханна Фрай «Математика любви»

    Чем дальше – тем горячее. Радио- и телеведущая Ханна Фрай (Hannah Fry) расскажет, как не ошибиться в любви. Она получила математическое образование в университетском колледже Лондона и успешно применила свои знания на практике. Сейчас Ханна регулярно выступает с лекциями, как вычислить свои шансы на взаимность, как рассчитать совместимость, как просчитать вероятность супружеских измен и как оптимизировать свадьбу. Естественно, с помощью математики.

    Артур Бенджамин «Магия математики»

    А вот американский математик Артур Бенджамин (Arthur T. Benjamin) считает математику настоящей магией чисел, и готов убедить в этом своего читателя. Также он готов научить быстро считать в уме и объяснить тригонометрию понятным языком. Сейчас он преподает в колледже Харви-Мад (США), а в юности, будучи студентом, писал песни и придумывал спецэффекты для студенческого мюзикла, который впоследствии победил на конкурсе.

    Иэн Стюарт «Математические головоломки профессора Стюарта»

    Еще один пример творческой личности, преуспевшей в разных сферах, это математик и писатель-фантаст Иэн Стюарт (Ian Andrew Robert Stewart). За свою долгую научную карьеру он преподавал в университетах США, Новой Зеландии, Германии, Великобритании. Также он увлекается живописью, подводным плаваньем, разводит аквариумных рыбок и играет на гитаре. Иэн Стюарт выпустил сборник математических головоломок, который не оставит равнодушным даже самого далекого от математики человека, и позволит вплотную приблизиться к тайнам точных наук.

    Борис Кордемский «Математическая смекалка»

    Еще одна книга для тех, кто думает, будто математика – это скучно. В отличие от любой другой книги по точным наукам, ее можно открывать на любой странице и пытаться решить любую из 369 занимательных задач. Примечательно, что эта книга, впервые увидевшая свет в далеком 1955 году, выдержала 11 переизданий и по-прежнему пользуется огромным успехом. Автор Борис Кордемский при жизни преподавал математику во многих средних и высших учебных заведениях, в т.ч. в Военной академии химической защиты.

    Читайте также  Тисненые обои

    Яков Перельман «Занимательная геометрия»

    Продолжим тему книг на все времена. В золотой фонд научно-популярной литературы, популяризирующей точные науки, нужно включить и сборник головоломок величайшего российского физика и математика Якова Перельмана. Это настоящее пособие по применению знаний геометрии в реальной жизни для ориентировки на местности, вычисления расстояний и т.д. Вы увидите реальную геометрию в течении реки, изгибе дороги, окружности леса и периметре поля.

    Нелли Литвак, Андрей Райгородский «Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир»

    Вузовские преподаватели со стажем взялись более глубоко раскрыть волнующую многих молодых людей тему компьютерных профессий. Вы узнаете, как пригодится математика, если вы хотите писать программы, проектировать компьютерные сети, заниматься шифрованием данных или запускать рекламную кампанию в Интернете. Нелли Литвак преподает высшую математику в Университете Твенте (Нидерланды), Андрей Райгородский успел поработать преподавателем в нескольких ведущих вузах России, в т.ч. МФТИ, а также в компании «Яндекс», зарегистрированной, кстати, в Нидерландах.

    Микул Патель «Веселая математика»

    А это книга для тех, кто хочет приобщить к математике своих детей. Писатель Микул Патель взял на себя труд дать уроки математики, рассказать о математических формулах и геометрических фигурах в простой доступной форме, рассчитанной на возраст 10-12 лет. А также на взрослых, которые помнят школьную математику максимум за 5 класс. Все пояснения снабжены веселыми картинками.

    Лев Генденштейн «Алиса в Стране Математики»

    Учащихся начальной школы, пока не полюбивших математику, можно попытаться увлечь сказкой. Серьезный человек, кандидат физико-математических наук, автор научных статей и учебников Лев Генденштейн написал хорошую добрую сказку про математику для младших школьников, название которой созвучно всем известному произведению Льюиса Кэрролла «Алиса в Стране Чудес». Точно также как «кэрроловская» Алиса познает «Страну Чудес», наша Алиса знакомится со «Страной Математики».

    Михайл Пегов «Семь раз отмерь»

    И на «закуску» предлагаем книгу о математике, написанную гуманитарием для гуманитариев. Историк и писатель Михаил Пегов, успевший, кстати, поработать в банковской сфере, решил просветить молодое поколение, что же такое верста, сажень, аршин и семь пядей во лбу, сколько это в современных единицах измерения. Прочитав книгу, можно научиться мерить все, что угодно разными альтернативными методами, в том числе руками, ладонью, пальцами, шагами и т.д. Полезный навык, не так ли?

    В общем, пока мы готовили подборку из 14 лучших книг, помогающих понять математику, мы наши еще одну причину, по которой нам следует понимать математику. Это наши дети, самое ценное, что есть в нашей жизни. Мы все хотим, чтобы дети хорошо учились и нашли свое призвание в жизни. Но для этого им нужно тактично и ненавязчиво помочь, в том числе с математикой, в чем помогут вам наши уроки онлайн-курса «Как научить ребенка считать». Желаем всем успеха и взаимопонимания с детьми!